ДАЛЕКИЙ — СЛОВОВЖИВАННЯ

дуже далеко

Правильніше: на краю світу; де сидір козам роги править; не близький (далекий, такий) світ; там, де дідько добраніч каже; як (мов, ніби) на кінці світу; сім верст до небес і все пішки; у чорта в зубах; де вже й перець не росте
Мова – не калька: словник української мови

дуже далекий родич

Правильніше: нашому тинові двоюрідний пліт; десята (сьома) вода на киселі ; через дорогу (вулицю, тин) навприсядки; ваш пес на нашій соломі спав; як чорт козі дядько; старої курки півня шваґер
Мова – не калька: словник української мови

Чи можна слово дальній уживати в термінологічних сполученнях?

Сфера його функціонування обмежується здебільшого розмовним стилем. А в термінологічних стандартах, у книжній мові треба послуговуватися прикметником далекий. Авіація, що долає тисячі кілометрів, – далека, капітан далекого плавання, далеке зарубіжжя.
Переносне значення віддаленості передає тільки ця лексема. Так, про погляд, спрямований у далечінь, або холодні, байдужі очі кажуть: далекий погляд, далекі очі. А людина, яка не думає про щось, не збирається щось робити, – далека від того: він був далекий від жартів (тобто не збирався жартувати).
Відповідником російського слова дальний в українській мові є не дальній, а далекий. Дальний Восток – Далекий Схід, дальнебойный – далекобійний, дальновидный – далекоглядний, дальнозоркий – далекозорий. Коли йдеться про відстань між двома об'єктами, краще використовувати віддалений. «В одну з моїх поїздок доля закинула мене на віддалену ділянку фронту» (Юрій Яновський).
Уроки державної мови (з газети «Хрещатик»)

у далекому минулому

Правильніше: у давню (сиву) давнину
Мова – не калька: словник української мови

у віддалених місцях

Правильніше: по далеких місцях; по далеких світах
Мова – не калька: словник української мови

на далеку перспективу

Правильніше: на довшу мету
Мова – не калька: словник української мови

місце, далеке від рідної землі

Правильніше: чужина
Мова – не калька: словник української мови

дуже далека країна (земля)

Правильніше: тридев'яте (тридесяте) царство (королівство, володарство)
Мова – не калька: словник української мови

відправити в далеку дорогу

Правильніше: спровадити в далеку дорогу
Мова – не калька: словник української мови

На Далекому Сходу

Правильніше: На Далекому Сході

Поїзд далекого слідування

Правильніше: Поїзд далекого прямування