БИЛЬЦЯ — ЕТИМОЛОГІЯ

би́ло́ «крило саней; полудрабок, верхня бокова перекладина воза»

семантика не дозволяє ототожнити це гніздо з би́ло;
похідним від би́ти;
скоріше тут ідеться про такі похідні утворення від іє. *bhei -«бити», які вже в ран ньопраслов’янський період утратили зв’язок із слов’янськими формами того ж походження на позначення биття;
пор. гр. φīτρός «колода, поліно, стовбур», похідне від того самого індоєвропейського кореня *bhei-/*bhī-;
р. [би́ло] «передок саней», бр. бі́ла «полудрабок», п. bidło «бильце у бороні», ч. слц. bidlo «жердина», слц. bilnica «орчик», болг. м. би́ло «верхнє ребро даху», м. било «балка», схв. бȕло «брусок граблів»;
Фонетичні та словотвірні варіанти

билівни́к «свердлувальник граблів»
би́лка «тонкий стовбур дерева»
би́льце́ «рама колиски; спинка ліжка; частина витушки; паличка у вулику; частина воріт; брус у бороні»
би́льця «поручні»
бильчак «дерев’яна колода»
бильча́стий «перильчастий»
Етимологічні відповідники

Слово Мова
бі́ла «полудрабок» білоруська
би́ло «верхнє ребро даху» болгарська
φīτρός «колода, поліно, стовбур» грецька
*bhei - «бити» індоєвропейська
би́ло «верхнє ребро даху» македонська
било «балка» македонська
bidło «бильце у бороні» польська
би́ло «передок саней» російська
бȕло «брусок граблів» сербохорватська
bidlo «жердина» словацька
bilnica «орчик» словацька
bidlo «жердина» чеська
би́ти ?
φīτρός «колода, поліно, стовбур» ?
*bhei-/*bhī- ?
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України