ЗИЧИТИ — СЛОВОВЖИВАННЯ

доброго здоров'я бажати

Правильніше: доброго здоров'я зичити
Мова – не калька: словник української мови

бажати – зичити

Збігаються у значенні «висловлювати побажання». Щиро бажаю (зичу) вам успіху. Тільки бажати передає зміст «хотіти, прагнути». «Один у другого питаєм... Нащо живем? Чого бажаєм?» (Тарас Шевченко).
Уроки державної мови (з газети «Хрещатик»)

з чужої біди не смійся

Правильніше: що собі не мило – і людям не зич
Мова – не калька: словник української мови

вітаю з новим роком!

Правильніше: бажаю (зичу) щасливого нового року! хай щастить у новому році!
Мова – не калька: словник української мови