ШАВКОТІТИ — ЕТИМОЛОГІЯ

ша́вкати «говорити невиразно, нерозбірливо, злегка шепелявлячи; (рідк.) утворювати шарудливі звуки; [шепелявити] Ме» (розм.)

звуконаслідувальне слово;
зіставлення його з ха́вкать як із словом, пов’язаним чергуванням приголосних (Ильинский ИОРЯС 20/4, 178), сумнівне;
р. ша́вкать «[невиразно, нерозбірливо говорити]; дзявкати (про собак)», бр. ша́ўкаць «нерозбірливо говорити»;
Фонетичні та словотвірні варіанти

ша́вка «людина, що говорить шепотом»
шавкота́ти «(про беззубу людину) невиразно говорити»
шавкоті́ти «(підсилювальне) до ша́вкати; [шепотіти; гугнявити] Куз»
Етимологічні відповідники

Слово Мова
ша́ўкаць «нерозбірливо говорити» білоруська
ха́вкать російська
ша́вкать «[невиразно, нерозбірливо говорити]; дзявкати (про собак)» російська

шавку́н «прилад для чищення ремінних поясів»

очевидно, утворене від шавкоті́ти (рідк.) «утворювати шарудливі, шелестливі звуки, шелестіти»;
можна припустити, що первісно назва була пов’язана з характерним шумом, що видає цей прилад під час роботи;
Етимологічні відповідники

Слово Мова
шавкоті́ти «утворювати шарудливі, шелестливі звуки, шелестіти» (рідк.) ?
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України