УГАЇ — ЕТИМОЛОГІЯ

угай «постійно, безперервно» (присл.)

не зовсім ясне;
можливо, похідне утворення від га́яти «затримувати; марно витрачати (час)», при якому префікс у- має заперечувальне значення (тобто «не витрачаючи марно часу, безперервно, постійно, весь час»);
Етимологічні відповідники

Слово Мова
га́яти «затримувати; марно витрачати (час)» українська
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України