ПРОЇТИ — ЕТИМОЛОГІЯ

прої́ти «варити в закритому горщику, тушкувати; занапащати, псувати Нед; пекти О»

очевидно, псл. projiti, вторинна каузативна форма до прі́ти за зразком каузативних форм типу гни́тигної́ти, пи́типої́ти тощо;
слц. [projic] «розігрівати над парою»;
Етимологічні відповідники

Слово Мова
projiti праслов’янська
projic «розігрівати над парою» словацька
прі́ти українська
гни́ти українська
гної́ти українська
пи́ти українська
пої́ти українська
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України