ПОСПІШУ — ЕТИМОЛОГІЯ

поспішка «паслін чорний, Solanum nigrum L.» (бот.)

очевидно, похідне утворення від поспіши́ти (до вбиральні);
у такому разі назва зумовлена послаблювальною дією ягід пасльону (Лік. росл. Енц. дов. 322, 323);
Етимологічні відповідники

Слово Мова
поспіши́ти (до вбиральні) українська
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України